求 $\sin t / t$ 不定积分的技巧

在微积分中，求 $sin t / t$ 的不定积分可以用以下技巧：

求 $\sin t / t$ 不定积分的技巧

1. 变数代换

设 $u = t$. 则 $du/dt = 1$，且 $sin t = sin u$.

因此，$int frac{sin t}{t} dt = int frac{sin u}{u} du$

2. 积分分部

积分分部的公式为：

$$int u dv = uv - int v du$$

设 $u = sin t$，$dv = frac{1}{t} dt$. 则 $du = cos t dt$，$v = ln t$.

代入积分分部的公式，得到：

$$int frac{sin t}{t} dt = sin t ln t - int ln t cos t dt$$

3. 积分 $ln t cos t$

$ln t cos t$ 的积分可用分部法或换元积分法求解。

分部法：

设 $u = ln t$，$dv = cos t dt$. 则 $du = frac{1}{t} dt$，$v = sin t$.

代入积分分部的公式，得到：

$$int ln t cos t dt = ln t sin t - int sin t frac{1}{t} dt$$

换元积分法：

设 $w = ln t$. 则 $dw = frac{1}{t} dt$。

代入原积分，得到：

$$int ln t cos t dt = int w cos w dw$$

这是一个标准积分，其结果为：

$$= sin w + C = sin (ln t) + C$$

4. 组合结果

将步骤 2 和步骤 3 的结果代回步骤 1 的结果，得到：

$$int frac{sin t}{t} dt = sin t ln t - sin (ln t) + C$$