矩阵求逆引理 矩阵求逆引理公式

矩阵 A平方=ATA，则证明AT=A，怎么证？

题一：A，T为矩阵，已知AA=ATA，求证AT=A，看样子不是这个意思。

矩阵求逆引理 矩阵求逆引理公式

矩阵求逆引理 矩阵求逆引理公式

有些资料上用^T表示用小型大写字母T作为右上角标，表示矩阵的转置。我们使用另一种标记，用'表示矩阵转置。

题二：AA=A‘A，求证A'=A

证：

引理1：对方阵A的特征多项式为f(λ)=|λE-A|，则|A|为f(λ)=0的各个根的乘积。

证引理1：f(0)=|0E-A|=|-A|=(-1)^n|A|，故|A|=(-1)^nf(0).

由一元n次方程的韦达定理，此即为各个根的乘积。

注：f(λ)=0的根，叫做方阵A的特征根，或特征值。

引理2：方阵A有特征值k, 对应于特征向量ξ，f(A)是关于A的多项式，则：

f(A)的有对应于ξ的特征值f(k).

证引理2：设A的特征值k对应于特征向量ξ，即有Aξ=kξ

故AAξ=kAξ=kkξ，递推得 A^nξ=k^nξ

同理 f(A)ξ=f(k)ξ。得征。

引理3：对于任意方阵A，存在k，使得B=A+kE为可逆方阵。这里E为单位阵。

证引理3：设B=A+kE,并设A的最小特征值为t,

由引理2，

易见B的特征值为t+k。我们可取t+k>0，即k>-t，从而使得B的所有特征值>0。

于是由引理1，|B|>0。从而B为可逆方阵。

以下证明题二：AA=A‘A，求证A'=A

证题二：依引理3，可取适当k值，使得B=A+kE为可逆方阵。

由已知有AA=A'A, 故

(B-kE)(B-kE)=(B-kE)'(B-kE)=(B'-kE)(B-kE)，即

BB-kB-kB+kkE=B'B-kB-kB'+kkE, 即BB-kB=B'B-kB'

又由已知，(AA)'=(A'A)'，即A'A'=A'A,同上理得

B'B'-kB'=B'B-kB

两式比较得

于是BB-B'B=B'B-B'B'

即(B-B')B=B'(B-B')

哎呀，白忙活了未必？

以上过程供大家摘抄引用。谢谢。

A,B为n×n的矩阵，A的平方=A=AB。证明：B的平方=B=BA 当且仅当 rank(A) = rank(B)

先写一点儿结果吧，能证出B^2=B，但后面的B=BA还不行。

先写简单的：如果B^2=B=BA，则rank(A)=rank(B)

这个很简单了。

由A=AB，rank(A)=rank(AB)<=rank(B)

由B=BA，rank(B)=rank(BA)<=rank(A)

所以得证。

再写难的：如果rank(A)=rank(B)，则B^2=B

因为A是幂等矩阵，即：A^2=A，有这么一个定理：

A可以写成：A=P'DP的形式，其中：P是可逆矩阵，P'是它的逆。

D是对角阵且对角元素是0或1。

设rank(A)=k，不妨设对角阵D的左上角是个k阶单位矩阵，其余元素为0。

由A=AB，有：P'DP = P'DPB

因为P'可逆，所以：DP=DPB

所以：DP(E-B)=0，其中E是单位矩阵。

考察矩阵DP，DP是个上边k行与P相同，下边n-k行全为零的矩阵。

又因为P是可逆的满秩矩阵，所以P的前k行线性无关，所以rank(DP)=k

而DP(E-B)=0，说明：E-B包含在矩阵DP的零空间里，所以：rank(E-B)<=n-k

又因为已知：rank(B)=k，所以：rank(B)+rank(E-B)<=n

另由线性代数的定理：rank(B)+rank(E-B)>=rank(B+(E-B))=rank(E)=n

所以：rank(B)+rank(E-B)=n

所以：rank(E-B)=n-k

下面要用到这么一个定理，我是在一篇叫：

Rank additivity and matrix polynomials

的文章中找到的，是一个1982年的report，应该很容易就能搜索出来。

里面有这么个定理：

设A1, A2, ..., Ak是n×n的矩阵，A=A1+A2+...+Ak。

(1) 对于任何Ai，Ai^2 = Ai

(2) 对于任何Ai, Aj，AiAj=0（正交）

(3) A^2=A

(4) rank(A1)+rank(A2)+...+rank(Ak)=rank(A)

定理是：(1)+(2)的条件组合，等价于(3)+(4)的条件组合。

BTW：作者说这就是Cochran定理，但我实在没看出来。

把我们的问题套到这个Cochran定理里：

A1=B，A2=E-B，A=A1+A2=E

因为(3)(4)成立，所以(1)(2)也成立。所以：B^2=B

当 A， B=0时， 显然成立。

正方向， 如果B^2=B=BA, A^2=A=AB,

rank(B)= rank(BA)≤ rankA (Sylvester's rank inequality), rank(A)=rank(AB)≤ rank(B)

这说明 rank(A)=rank(B)

反方向， 如果rank(A)=rank(B)， 因为A^2=A=AB，(B)A=BA^2=(BA)A，所以 B=BA，B^2=(BA)^2=BA(BA)=BAB=B(AB)=BA=B,所以 B^2=B=BA

当 A， B=0时， 显然成立。

正方向， 如果B^2=B=BA, 因为A^2=A=AB, 所以BA=BA^2=BAB=B, 即BA=B，

这说明 R（A)=R(B)，否则若R(A)不等于R(B)， AB=0 矛盾

反方向， 如果R(A)=R(B)， 因为A^2=A=AB， 所以BA=BAB=BA^2，所以 B=BA，B^2=(BA)^2=B,所以 B^2=B=BA

若n阶矩阵A可对角化，那A的秩即为非0特征值的个数，这句话对吗，逆过来呢？

正确。

原因是A的秩等于其相似对角阵的秩，而对角阵的秩就是非零特征值的个数。所以反过来也是正确的。

既然A可对角化，相似变换不改变秩，把A对角化即得结论。 零矩阵（当然必须是方阵）也算是对角矩阵。

A可对角化时，存在可逆矩阵P使得 P^-1AP=diag(a1,..,an)

则 R(A) = R(P^-1AP) = Rdiag(a1,...,an) = a1,...,an中非零元素的个数

而A的特征值即a1,...,an

所以 R(A) 等于A的非零特征值的个数。

扩展资料：

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

参考资料来源：

这句话是正确的。原因是A的秩等于其相似对角阵的秩，而对角阵的秩就是非零特征值的个数。所以反过来也是正确的。

A，B都是n阶矩阵，满足AB=E，求证矩阵A可逆，且A的逆矩阵等于B

1.首先利用初等变换证明一个引理：对于n阶方阵A和B，必有|AB|=|A||B|。

2.根据上述引理，|A||B|=1，于是|A|非零，从而A可逆，记A的逆矩阵为C。(C=adj(A)/|A|)

3.在AB=E两边同时左乘C得B=C。

矩阵的逆怎么求

1、伴随矩阵法

如果矩阵A可逆，则

的余因子矩阵的转置矩阵。

（|A|≠0，|A|为该矩阵对应的行列式的值）

A的伴随矩阵为

其中Aij=（-1）i+jMij称为aij的代数余子式。

2、初等行变换法

在行阶梯矩阵的基础上，即非零行的个非零单元为1，且这些非零单元所在的列其它元素都是0。综上，行最简型矩阵是行阶梯形矩阵的特殊形式。

一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作 可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成行阶梯型矩阵。

方法是一般从左到右，一列一列处理先把个比较简单的(或小)的非零数交换到左上角(其实变换也行)。

用这个数把列其余的数消成零处理完列后，行与列就不用管，再用同样的方法处理第二列(不含行的数)。

扩展资料

性质定理：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

参考资料来源：

亲，最简单的办法是用增广矩阵。如果要求逆的矩，阵是A，则对增广矩阵(AE) 进行初等行变换，E是单位矩阵，将A化到E，此时此矩阵的逆就是原来E的位置.上的那个矩阵，原理是A逆乘以(A E)=(EA逆)初等行变换就是在矩阵的左边乘以A的逆矩阵得到的。【摘要】

矩阵的逆矩阵怎么求【提问】

亲，您好，我是你的答题小老师，正在为你整理题目的，请您稍等片刻。【回答】

求矩阵的逆常用的有如下三种做法。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

一、公式法：A的逆阵=(1/|A|)A，其中A是A的伴随阵。

二、初等变换法：对分块矩阵(A,E)做行初等变换，前半部分A化成单位阵E时，后半部分E就化成了A的逆阵。

三、猜测法：如果能通过已知条件得出AB=E或BA=E，则B就是A的逆矩阵。

（2 0）T为矩阵（2 0）的转置

转置的定义：将行变成列

（2 0）T为

（2）

（0）

newman 2015年3月26日20:18:46

希望对你有所帮助，望采纳。