中职指数函数与对数函数课件_中职指数函数应用举例教案

第 9 章 指数函数和对数函数

Time: 2019-11-27

中职指数函数与对数函数课件_中职指数函数应用举例教案

中职指数函数与对数函数课件_中职指数函数应用举例教案

Title:第 9 章 指数函数和对数函数

本章重点：

指数法则、对数和指数的关系, 以及对数法则

(1) : 任意非零数的零次幂是 1.

(2) : 一个数的一次幂正好是该数本身.

(3) . 当将两个底数相同的幂相乘时, 将指数相加.

(4) 当将两个底数相同的幂相除时, 将分子的指数减去分母的.

(5) 当取幂的幂时, 将指数相乘.

对数的指数就是原始的数 指数的对数就是原始的数 (前提是底数相同!)

(1)

(2)

(3) 乘积的对数是对数的和.

(4) 商的对数是对数的.

(5) 对数将指数移至对数之前. 在该方程中, y 可以是任意的实数 (正的、负的或零).

(6) 换底法则：对于任意的底数 b > 1 和 c > 1 及任意的数 x > 0

对数把运算都降级了。

探索 e 从何而来的方涉及一点金融问题(复利)

以年利率 r 连续计复利, t 年后的财富 =

1.非常重要的一点是, 注意到你是在哪里计算函数的极限的：是在 附近 (也就是说, 小的数), 还是在 (也就是说, 大的数), 又或者在某个既不大也不小的数附近.

2.当虚拟变量本身在分母上时, 极限可能是一个伪装的导数.

3.指数函数增长迅速： 不管 n 有多大,

4.用 替换 x 这一技巧可以将对数函数在 附近的行为。

令也可以使用 .

1.两边求对数 2.隐函数求导 3.代入

有指数和对数的话就要考虑用对数求导法化简。

如果 其中 A 为某个常数.

指数增长方程：

双曲余弦函数： .

双曲正弦函数： .

导数：

双曲正割：

双曲余割：

双曲正切：

双曲余切：

导数：

除了三角正割导数结果没有负号，其余竟然一致。

人教版高二数学课件

高中数学就不像初中数学那么简单，下面我为大家收集了人教版高中数学课件，供大家参考阅读！

一、教材分析

1、教材的地位和作用：

函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。本节课是学生在已掌握了函数的一般性质和简单的指数运算的基础上，进一步研究指数函数及指数函数的图像和性质，同时也为今后研究对数函数及其性质打下坚实的基础。因此本节课内容十分重要，它对知识起着承上启下的作用。

2、教学的重点和难点：

根据这节课的内容特点及学生的实际情况，我将本节课教学重点定为指数函数的图像、性质及应用，难点定为指数函数性质的发现过程及指数函数与底的关系。

二、教学目标分析

基于对教材的理解和分析，我制定了以下教学目标：

1、理解指数函数的定义，掌握指数函数图像、性质及其简单应用。

2、通过教学培养学生观察、分析、归纳等思维能力，体会数形结合思想和分类讨论思想，增强学生识图用图的能力。

3、培养学生对知识的严谨科学态度和辩证唯物主义观点。

三、教法学法分析

1、学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也逐步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃敏捷，却缺乏冷静深刻。因此思考问题片面不严谨。

2、教法分析：基于以上学情分析，我采用先学生讨论，再教师讲授教学方法。一方面培养学生的观察、分析、归纳等思维能力。另一方面用教师的讲授来纠正由于学生思维过分活跃而走入的误区，和弥补知识的不足，达到能力与知识的双重效果。

3、学法分析

让学生仔细观察书中给出的实际例子，使他们发现指数函数与现实生活息息相关。再根据高一学生爱动脑懒动手的特点，让学生自己描点画图，画出指数函数的图像，继而用自己的语言总结指数函数的性质，学生经历了探究的过程，培养探究能力和抽象概括的能力。

四、教学过程：

(一)创设情景

问题1：某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个,……一个这样的细胞分裂 次后,得到的细胞分裂的个数 与 之间,构成一个函数关系,能写出 与 之间的函数关系式吗?

学生回答: 与 之间的关系式,可以表示为 。

问题2：折纸问题：让学生动手折纸

学生回答：①对折的次数 与所得的层数 之间的关系，得出结论

②对折的次数 与折后面积 之间的关系(记折前纸张面积为1)，得出结论

问题3：《庄子。天下篇》中写到“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。

学生回答：写出取 次后，木棰的剩留量与 与 的函数关系式。

设计意图：

(1)让学生在问题的情景中发现问题，遇到挑战，激发斗志，又学生在简单的具体问题中抽象出共性，体验从简单到复杂，从特殊到一般的认知规律。从而引入两种常见的指数函数① ②

(2)让学生感受我们生活中存在这样的指数函数模型，便于学生接

受指数函数的形式。

(二)导入新课

学生观察，三个函数中，底数是常数，指数是自变量。

设计意图：充实实例，突出底数a的取值范围，让学生体会到数学来源于生产生活实际。函数 分别以 的数为底，加深对定义的感性认识，为顺利引出指数函数定义作铺垫。

(三)新课讲授

1.指数函数的定义

一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是R。

的含义：

设计意图：为 按两种情况得出指数函数性质作铺垫。若学生回答不合适，学生用区间表示：

问题：指数函数定义中，为什么规定“ ”如果不这样规定会出现什么情况?

设计意图：教师首先提出问题:为什么要规定底数大于0且不等于1呢?这是本节的一个难点，为突破难点，采取学生自由讨论的形式，达到互相启发，补充，活跃气氛，激发兴趣的目的。

对于底数的分类，可将问题分解为：

(1)若 会有什么问题?(如 ，则在实数范围内相应的函数值不存在)

(2)若 会有什么问题?(对于 ， 都无意义)

(3)若 又会怎么样?( 无论 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.)

师：为了避免上述各种情况的发生,所以规定 。

在这里要注意生生之间、师生之间的对话。

设计意图：认识清楚底数a的特殊规定，才能深刻理解指数函数的定义域是R;并为学习对数函数，认识指数与对数函数关系打基础。

教师还要提醒学生指数函数的定义是形式定义,必须在形式上一模一样才行,然后把问题引向深入。

1：指出下列函数那些是指数函数：

2：若函数 是指数函数，则

3：已知 是指数函数，且 ,求函数 的解析式。

设计意图 ：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。

2.指数函数的图像及性质

在同一平面直角坐标系内画出下列指数函数的图象

画函数图象的步骤：列表、描点、连线

思考如何列表取值?

教师与学生共同作出 图像。

设计意图：在理解指数函数定义的基础上掌握指数函数的图像与性质，是本节的重点。关键在于弄清底数a对于函数值变化的影响。对于 时函数值变化的不同情况，学生往往容易混淆，这是教学中的一个难点。为此，必须利用图像，数形结合。教师亲自板演，学生亲自在课前准备好的坐标系里画图，而不是采用几何画板直接得到图像，目的是使学生更加信服，加深印象，并为以后画图解题，采用数形结合思想方法打下基础。

利用几何画板演示函数 的图象，观察分析图像的共同特征。由特殊到一般,得出指数函数 的图象特征,进一步得出图象性质：

教师组织学生结合图像讨论指数函数的性质。

设计意图：这是本节课的重点和难点，要充分调动学生的积极性、主动性，发挥他们的潜能，尽量由学生自主得出性质，以便能够更深刻的记忆、更熟练的运用。

师生共同总结指数函数的性质，教师边总结边板书。

特别地，函数值的分布情况如下：

设计意图：再次强调指数函数的单调性与底数a的关系，并具体分析了函数值的分布情况，深刻理解指数函数值域情况。

(四)巩固与练习

例1： 比较下列各题中两值的大小

教师学生观察这些指数值的特征，思考比较大小的方法。

(1)(2)两题底相同，指数不同，(3)(4)两题可化为同底的，可以利用函数的单调性比较大小。

(5)题底不同，指数相同，可以利用函数的图像比较大小。

(6)题底不同，指数也不同，可以借助中介值比较大小。

例2：已知下列不等式 , 比较 的大小 :

设计意图：这是指数函数性质的简单应用，使学生在解题过程中加深对指数函数的图像及性质的理解和记忆。

(五)课堂小结

通过本节课的学习，你学到了哪些知识?

你又掌握了哪些数学思想方法?

你能将指数函数的学习与实际生活联系起来吗?

设计意图：让学生在小结中明确本节课的学习内容，强化本节课的学习重点，并为后续学习打下基础。

(六)布置作业

1、练习B组第2题;习题3-1A组第3题

2、A先生从今天开始每天给你10万元,而你承担如下任务:天给A先生1元,第二天给A先生2元,,第三天给A先生4元,第四天给A先生8元,依次下去,…,A先生要和你签定15天的合同,你同意吗?又A先生要和你签定30天的合同,你能签这个合同吗?

3、观察指数函数 的图象，比较 的大小。

对数与指数的关系是什么？

你应该问的是数学上的指数和对数，而不是指经济学上的指数

数学上指数和对数是一对互逆运算。

指数函数：

[公式]

对数函数：

[公式]

其中 [公式] ，[公式] 是自变量, [公式] ， [公式] 是因变量。

[公式] ， [公式] ， [公式] ， [公式] 都是变量，而底数 [公式] ， [公式] 都是常量（不变的）。

例如：指数函数 [公式] 对应的对数函数是 [公式] (一般习惯性写成 [公式] ,此处 [公式] 和 [公式] 与前面指数函数的 [公式] 和 [公式] 不是同一个变量)。

指数与对数是一对互逆的运算，指数函数与对数函数互相构成反函数。这方面的内容，在高中数学课程中已经详细介绍过。学生对它们的定义、基本运算规则以及有关的一些应用，大体上都应该是了解的。但是，对它们的精神实质及深刻内涵，对它们在人类认识世界与改造世界的文明发展史中所起的重要作用与贡献，却不一定都有深切的领会。这一期特辑，以通俗易懂的方式，专门介绍指数与对数这一主题，对广大学生和大众来说是很好的阅读材料。

在现有的中学教材中，往往是先讲指数，再讲对数。这样做，从符合学生认识规律的角度，无疑是正确的。但是，从数学的发展历史上讲，对数的概念却是早于指数。数学家欧拉最早（1728年）将指数与对数概念明确地联系起来，认识到指数函数的重要性。他深入开展了研究，从而也进一步揭示了对数函数的本质。特别是，他将指数函数的定义域由实数拓展到复数，得到了指数函数与三角函数之间的深刻联系，即的欧拉公式

[公式]

并由此得到

[公式]

这个大家公认的最美数学式。

由于指数和对数是互逆的关系，从原则上看，知道了其中一个就可以理解另外一个。下面就重点讲一下对数。

对数是苏格兰数学家纳皮尔（John Napier，1550～1617）发明的。他从1594年到1614年整整花了20年时间造出了个对数表，使对数似乎毫无征兆地突然降临人间。但从纳皮尔本人的说法就可以知道，这实际上是当时天文、航海及工程实践中对简化大量繁杂计算的迫切需要所促成的。由于对数不仅能将乘除转化为加减，也能将乘方、开方转化为乘除，一下子把人们从繁复的计算中解放出来，无异于成倍地延长了科学家与工程技术人员的寿命。正因为如此，在科学发展的历史中，极少有哪个抽象的数学概念，能像对数一样，一开始就获得了整个科学界的热烈欢迎。对数的发明，无疑是人类认识史上的一个极大的飞跃和革命，在人类文明的进程中起了石破天惊的作用。就曾经将对数与解析几何及微积分这三者并列，称之为“最重要的数学方法”，并指出：对于将乘除转化为加减的“这种从一个形态到另一个相反的形态的转变，并不是一种无聊的游戏，它是数学科学的最有力的杠杆之一。如果没有它，今天就没法去进行一个较为复杂的计算。”

自纳皮尔1614年发明对数以来，在长达350年左右的时间内，根据对数的原理所设计的一些计算仪器（其中包括曾广泛使用的计算尺），一直是科学家和工程师的忠实伴侣。但自20世纪70年代初期袖珍计算器上市起，功能强大的现代计算器不断出现，对数用于简化计算的功能已完成了历史使命。对数在计算中无可替代的地位也就一去不复返。但对数的概念及对数函数的种种性质，不仅没有退出历史舞台，相反，在现代数学和其他科学领域中的作用却有增无减，一直占据着重要的位置。噪声的度量、恒星亮度的确定、等级的划分、乐曲音度的标示、溶液酸碱度的测定等等，这些人类对很多外界的感知，往往用的是对数的尺度。火箭速度的计算公式以及数学中种种重要的表达式，同样离不开对数。对数从计算的有力工具向科学的重要方法的转化，在数学的发展史中留下了浓墨重彩的篇章，记录着人类不断发展进步的光辉历程。这一人类文明的瑰宝，值得大家认真学习和深刻领悟

指数对数联系

求解过程是个逆运算

不过从定义上来讲是没关系的

在乘方a^n中，其中的a叫做底数，n叫做指数，结果叫幂。

如果a^n=b，那么logab=n。其中，a叫做“底数”，b叫做“真数”，n叫做“以a为底b的对数”。

跪求指数函数对数函数与幂函数详细区别和计算技巧（有图解例题）

①幂函数：y＝x^μ（μ≠0，μ为任意实数）定义域：μ为正整数时为（－∞，＋∞），μ为负整数时是（－∞，0）∪（0，＋∞）；μ＝(α为整数)，当α是奇数时为（ －∞，＋∞），当α是偶数时为（0，＋∞）；μ＝p／q,p,q互素，作为的复合函数进行讨论。略图如图2、图3。

②指数函数：y＝a^x（a＞0 ，a≠1），定义成为（ －∞，＋∞），值域为（0 ，＋∞），a＞0 时是严格单调增加的函数（ 即当x2＞x1时，） ，0＜a＜1 时是严格单减函数。对任何a，图像均过点（0，1），注意y＝ax和y＝（）x的图形关于y轴对称。如图4。

③对数函数：y＝logax（a＞0）， 称a为底 ， 定义域为（0，＋∞），值域为（－∞，＋∞） 。a＞1 时是严格单调增加的，0＜a＜1时是严格单减的。不论a为何值，对数函数的图形均过点（1，0），对数函数与指数函数互为反函数 。如图5。

以10为底的对数称为常用对数 ，简记为lgx 。在科学技术中普遍使用的是以e为底的对数，即自然对数，记作lnx。

对数函数图像及性质

对数函数图像及性质如下：

对数函数性质：

对数函数的一般形式为，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a的规定，同样适用于对数函数。

对数函数的图形是指数函数的图形关于直线y=x的对称图形，因为它们互为反函数。

(1)对数函数的定义域为大于0的实数。

(2)对数函数的值域为全部实数。

(3)函数总是通过(1，0)这点。

(4)a大于1时，为单调递增函数，并且上凸;a小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。

(5)显然对数函数。

拓展：

考纲要求：

1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用。

2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图象通过的特殊点。

3．了解指数函数 y＝a 与对数函数 y＝logax 互为反函数(a>0，a≠1)。

常见考法：

多以三大题型考查对数函数的图像和性质的应用。题目难度一般较大。在高考中也经常和导数等知识联合考查。

本节知识点包括对数函数的概念、对数函数的图像及其性质、指数函数与对数函数的关系等知识点。重点是对数函数的图像和性质。

指数函数和对数函数的图像

指数函数，y=ax(a>0，且a≠1)，注意与幂函数的区别．

对数函数y=logax(a>0，且a≠1)．

指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数．