世界最难题数学 世界难题数学题小学

世界七大数学难题是哪些？

这七个难题的简单介绍如下：

世界最难题数学 世界难题数学题小学

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1、P与NP问题：一个问题称为是P的，如果它可以通过运行多项式次（即运行时间至多是输入量大小的多项式函数）的一种算法获得解决。一个问题成为是NP的，如果所提出的解答可以用多项式次算法来检验。

2、黎曼设/黎曼猜想：黎曼ζ函数的每一个非平凡零点都有等于1/2的实部。

3、庞加莱猜想：任何单连通闭3维流形同胚于3维球。

4、Hodge猜想：任何Hodge类关于一个非奇异复射影代数簇都是某些代数闭链类的有理线形组合。

5、Birch及Swinnerton-Dyer猜想：对于建立在有理数域上的每一条椭圆曲线，它在一处的L函数变为零的阶都等于该曲线上有理点的阿贝尔群的秩。

6、Nier-Stokers方程组：（在适当的边界及初始条件下）对3维Nier-Stokers方程组证明或反证其光滑解的存在性。

7、Yang-Mills理论：证明量子Yang-Mills场存在，并存在一个质量间隙。

20年过去，千禧年数学七大难题仍有六题未解

2000年5月，由美国富豪出资建立的克莱数学研究所，精心挑选了7大未解数学难题，无论是数学家还是流浪汉，任何人只要解决其中一题，都可以领走100万美金。美国希望通过悬赏的方式高效解决问题，对数学家而言，无疑也是一次扬名立万的机会。这七道题也被称为“千禧年数学七大难题”。

可如今20年过去了，七道难题还剩下六道未解。已经被攻破的是曾经困扰人类近百年的“庞加莱猜想”。用大众化可以理解语言可以定义为：在一个三维空间中，如每一条封闭的曲线都能收缩成一点，那么这个空间一定是一个三维的圆球。

1904年，被誉为一个百科全书式的法国科学家庞加莱提出了这一猜想。庞加莱猜想”拓扑学的基础难题，如果了这个难题，人类对于宇宙和空间的认识将更上一个深度。

世界数学七大难题是什么？

世界数学七大难题：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼设、杨.米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔.斯托可方程、BSD猜想。

1、NP完全问题

例：在一个周六的晚上，参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟你就能向那里扫视，并且发现宴会的主人是正确的。

如果没有这样的暗示你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的人。生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。

2、霍奇猜想

二十世纪的数学家们发现了，研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，可以把给定对象的形状通过把维数，不断增加简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广。

最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下必须加上某些没有任何几何解释的部件。

霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完好的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的（有理线性）组合。

3、庞加莱猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面如果想象同样的橡皮带，以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。

苹果表面是“单连通的”而轮胎面不是。大约在一百年以前庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面（四维空间中与原点有单位距离的点的全体）的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起数学家们就在为此奋斗。

4、黎曼设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而德国数学家黎曼（1826~1866)观察到。

素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ（s)的性态。的黎曼设断言，方程ζ（s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

5、杨.米尔斯存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨.米尔斯方程的预言，已经在全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实。

布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

6、纳卫尔.斯托可方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶.斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。

虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶.斯托克斯方程中的奥秘。

7、BSD猜想

数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的。

不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通.戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0，那么存在无限多个有理点（解）。如果z(1)不等于0，那么只存在着有限多个这样的点。

世界上最难的数学题 世界七大数学难题难倒了全世界(2)

二、霍奇猜想

霍奇猜想是代数几何的一个重大的悬而未决的问题。它是关于非奇异复代数簇的代数拓扑和它由定义子簇的多项式方程所表述的几何的关联的猜想。它在霍奇的著述的一个结果中出现，他在1930至1940年间通过包含额外的结构丰富了德拉姆上同调的表述，这种结构出现于代数簇的情况（但不仅限于这种情况）。

三、庞加莱猜想

庞加莱猜想最早是由法国数学家庞加莱提出的一个猜想，是克雷数学研究所悬赏的数学方面七大千禧年难题之一。2006年确认由数学家格里戈里·佩雷尔曼完成最终证明，他也因此在同年获得菲尔兹奖，但并未现身领奖。

基本描述

在1900年，庞加莱曾声称，用他基于恩里科·贝蒂的工作而发展出的同调论，可以判定一个三维流形是否三维球面。不过，他在1904年发表的一篇论文中，举出了一个反例，现在称为庞加莱同调球面，与三维球面有相同的同调群。他引进了一个新的拓扑不变量，称为基本群，并且证明他的反例与三维球面的基本群不同。三维球面有平凡基本群，也就是说是单连通的。他提出以下猜想： 任一单连通的、封闭的三维流形与三维球面同胚。 上述简单来说就是：每一个没有破洞的封闭三维物体，都拓扑等价于三维的球面。粗浅的比喻即为：如果我们伸缩围绕一个柳橙表面的橡皮筋，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点；另一方面，如果我们想象同样的橡皮筋以适当的方向被伸缩在一个甜甜圈表面上，那么不扯断橡皮筋或者甜甜圈，是没有办法把它不离开表面而又收缩到一点的。我们说，柳橙表面是“单连通的”，而甜甜圈表面则不是。 该猜想是一个属于代数拓扑学领域的具有基本意义的命题，对“庞加莱猜想”的证明及其带来的后果将会加深数学家对流形性质的认识，甚至会对人们用数学语言描述宇宙空间产生影响，对于一维与二维的情形，此猜想是对的，现在已经知道，它对于任何维数都是对的。

证明历史

20世纪 这个问题曾经被搁置了很长时间，直到1930年怀特海首先宣布已经证明然而又收回，才再次引起了人们的兴趣。怀特海提出了一些有趣的三流形实例，其原型现在称为怀特海流形。1950和1960年代，又有许多的数学家包括R·H·宾、沃夫冈·哈肯、爱德华·摩斯声称得到了证明，但最终都发现证明存在致命缺陷。1961年，美国数学家史提芬·斯梅尔采用十分巧妙的方法绕过三、四维的困难情况，证明了五维以上的庞加莱猜想。这段时间对于低维拓扑的发展非常重要。这个猜想逐渐以证明极难而知名，但是证明此猜想的工作增进了对三流形的理解。1981年美国数学家麦克·傅利曼证明了四维猜想，至此广义庞加莱猜想得到了证明。 1982年，理查德·哈密顿引入了“里奇流”的概念，并以此证明了几种特殊情况下的庞加莱猜想。在此后的几年中，他进一步地发展了此方法，后来被佩雷尔曼的证明所使用。

21世纪数学家格里戈里·佩雷尔曼在2002年11月和2003年7月之间，的数学家格里戈里·佩雷尔曼发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。在佩雷尔曼之后，先后有3组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密歇根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚；以及理海大学的曹怀东和中山大学的朱熹平。 2006年8月，第25届数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖，但佩雷尔曼拒绝接受该奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。 上一页 1 /4 下一页

世界上最难的数学题世界七大数学难题难倒了全世界

今天我们来和大家说说世界七大数学难题，这些可都是世界上最难的数学题哦。 说到数学难题你会想到什么，我想到的是哥德巴赫猜想，但其实哥德巴赫猜想并不是这七大数学难题之一，下面就让我们来一起看看当今科技如此发达的情况下还有哪些数学难题。

世界七大数学难题：

1、P/NP问题（P versus NP）

2、霍奇猜想（The Hodge Conjecture）

3、庞加莱猜想（The Poincaré Conjecture），此猜想已获得证实。

4、黎曼猜想（The Riemann Hypothesis）

5、杨-米尔斯存在性与质量间隙（Yang-Mills Existence and Mass Gap）

6、纳维-斯托克斯存在性与光滑性（Nier-Stokes existence and oothness）

7、贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（The Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture）

所谓的世界七大数学难题其实是于2000年5月24日由由美国克雷数学研究所公布的七个数学难题。也被称为千禧年难题。根据克雷数学研究所订定的规则，所有难题的解答必须发表在数学期刊上，并经过各方验证，只要通过两年验证期，每解破一题的解答者，会颁发奖金100万美元。这些难题是呼应1900年德国数学家大卫·希尔伯特在巴黎提出的23个历史性数学难题，经过一百年，许多难题已获得解答。而千禧年难题的，极有可能为密码学以及航天、通讯等领域带来突破性进展。

一：P/NP问题

P/NP问题是世界上最难的数学题之一。在理论信息学中计算复杂度理论领域里至今没有解决的问题，它也是克雷数学研究所七个千禧年难题之一。P/NP问题中包含了复杂度类P与NP的关系。1971年史提芬·古克和Leonid Levin相对的提出了下面的问题，即是否两个复杂度类P和NP是恒等的（P=NP?）。 复杂度类P即为所有可以由一个确定型图灵机在多项式表达的时间内解决的问题；类NP由所有可以在多项式时间内验证解是否正确的决定问题组成，或者等效的说，那些解可以在非确定型图灵机上在多项式时间内找出的问题的。很可能，计算理论的未解决问题就是关于这两类的关系的： P和NP相等吗？ 在2002年对于100研究者的调查，61人相信是否定的，9个相信是肯定的，22个不确定，而8个相信该问题可能和现在所接受的公理，所以不可能证明或证否。对于正确的解答，有一个1百万美元的奖励。 NP-完全问题（或者叫）的在这个讨论中有重大作用，它们可以大致的被描述为那些在NP中最不像在P中的（确切定义细节请参看NP-完全理论）。计算机科学家现在相信P, NP，和类之间的关系如图中所示，其中P和类不交。

设P ≠ NP的复杂度类的图解。如P = NP则三个类相同。 简单来说，P = NP问题问道：如果是／不是问题的正面可以很快验证，其是否也可以很快计算？这里有一个给你找点这个问题的感觉的例子。给定一个大数Y，我们可以问Y是否是复合数。例如，我们可能问53308290611是否有非平凡的因数。是肯定的，虽然手工找出一个因数很麻烦。从另一个方面讲，如果有人声称是"对，因为224737可以整除53308290611"，则我们可以很快用一个除法来验证。验证一个数是除数比找出一个明显除数来简单得多。用于验证一个正面所需的信息也称为证明。所以我们的结论是，给定正确的证明，问题的正面可以很快地（也就是，在多项式时间内）验证，而这就是这个问题属于NP的原因。虽然这个特定的问题，最近被证明为也在P类中（参看下面的关于"质数在P中"的参考），这一点也不明显，而且有很多类似的问题相信不属于类P。 像上面这样，把问题限制到“是／不是”问题并没有改变原问题（即没有降低难度）；即使我们允许更复杂的，的问题（是否FP = FNP）是等价的。

关于证明的难度的结果

虽然百万美元的奖金和投入巨大却没有实质性结果的大量研究足以显示该问题是困难的，但是还有一些形式化的结果证明为什么该问题可能很难解决。 最常被引用的结果之一是设计神谕。想你有一个魔法机器可以解决单个问题，例如判定一个给定的数是否为质数，可以瞬间解决这个问题。我们的新问题是，若我们被允许任意利用这个机器，是否存在我们可以在多项式时间内验证但无法在多项式时间内解决的问题？结果是，依赖于机器能解决的问题，P = NP和P ≠ NP二者都可以证明。这个结论带来的后果是，任何可以通过修改神谕来证明该机器的存在性的结果不能解决问题。不幸的是，几乎所有经典的方法和大部分已知的方法可以这样修改（我们称它们在相对化）。 如果这还不算太糟的话，1993年Razborov和Rudich证明的一个结果表明，给定一个特定的可信的设，在某种意义下“自然”的证明不能解决P = NP问题。这表明一些现在似乎最有希望的方法不太可能成功。随着更多这类定理得到证明，该定理的可能证明方法有越来越多的陷阱要规避。 这实际上也是为什么NP完全问题有用的原因：若对于NP完全问题存在有一个多项式时间算法，或者没有一个这样的算法，这将能用一种相信不被上述结果排除在外的方法来解决P = NP问题

世界七大数学难题之首是什么？

世界七大数学难题之首是：NP完全问题。

2000 年，美国克莱数学研究所公布了世界七大数学难题，又称千年问题，规定对每一难题的者颁发一百万美元的奖金。其中 P 与 NP 问题被列为这七大数学难题之首。

NP完全问题(NP-C问题)，是世界七大数学难题之一。 NP的英文全称是Non-deterministic Polynomial的问题，即多项式复杂程度的非确定性问题。简单的写法是 NP=P？问题就在这个问号上，到底是NP等于P，还是NP不等于P。

世界7大数学难题，解出一道奖励100万美元

世界7大数学难题，解出一道奖励100万美元，至今只有一人解出。美国在21世纪初对全世界发布了一条悬赏消息，如果谁可以解出由专家组选出来的7大数学难题的其中一个，就可以获得100万美元的奖金，注意只要解出7道难题中的其中一个就可以。

世界各地有许多数学家抱着激动的心情去解这7大难题，但基本上都是无功而返。但有一位数学家却解出了其中一道难题，他就是格里戈里.佩雷尔曼。他让所有参与的挑战者和专家都感觉不可思议，他解出了难题，却没有拿走100万美元资金。

格里戈里说：“我感兴趣的是数学难题，而不是金钱，而且不喜欢被媒体关注。”其实格里戈里从1995年就开始研究庞加莱猜想，用了大约7年的时间，才在草稿纸上完成了这个猜想的证明。2002年他把自己的论文整理好发给数学专家团们检验，随后引起了数学界的轰动。

世界上最难的数学题解答

世界上最难的数学题解答

世界上最难的数学题解答，数学是一门伟大的学科，对于逻辑思维能力不好的人来说，数学就是一个拦路虎，很多人都头疼数学，但数学也有很有趣的猜想，下面分享世界上最难的数学题解答。

世界上最难的数学题解答1

在普通人群中，人群中只有1%的人智商在140分以上;有11%的智商属于120分～139分;18%属于110分～119分;46%属于90分～109分;15%属于80分～89分;6%属于70分～79分;另外，有3%的人智商低于70分，属于智能不足者。

题目是这样的

阿尔贝茨和贝尔纳德想知道谢丽尔的生日，于是谢丽尔给了他们俩十个可能的日期：5月15日、5月16日、5月19日、6月17日、6月18日、7月14日、7月16日、8月14日、8月15日、8月17日。谢丽尔只告诉了阿尔贝茨她生日的月份，告诉贝尔纳德她生日的日子。阿尔贝茨说：我不知道谢丽尔的生日，但我知道贝尔纳德也不会知道。贝尔纳德回答：一开始我不知道谢丽尔的生日，但是现在我知道了。阿尔贝茨也回答：那我也知道了。那么，谢丽尔的生日是哪月哪日?

是这样的

在出现的十个日子中，只有18日和19日出现过一次，如果谢丽尔生日是18或19日，那知道日子的贝尔纳德就能猜到月份，一定知道谢丽尔的生日是何月何日。为何阿尔贝茨肯定贝尔纳德不知道谢丽尔的生日呢?如上述，因为5月和6月均有只出现过一次的日子18日和19日，知道月份的阿尔贝茨就能判断，到底贝尔纳德有没有肯定的把握，所以她的生日一定是7月或8月。贝尔纳德的话也提供信息，因为在7月和8月剩下的5个日子中，只有14日出现过两次，如果谢丽尔告诉贝尔纳德她的生日是14日，那贝尔纳德就没有可能凭阿尔贝茨的一句话，猜到她的生日。所以有可能的日子，只剩下7月16日、8月15日和8月17日。在贝尔纳德说话后，阿尔贝茨也知道了谢丽尔的生日，反映谢丽尔的生日月份不可能在8月，因为8月有两个可能的日子，7月却只有一个可能性。所以是7月16日。

真正世界上最难的数学题

世界上最难的数学题的其实是“1+1”,不要笑,也不要认为我是在糊弄你,其实这是真的,这个题从古到今还没人能够算出来。

哥德巴赫猜想(Goldbach Conjecture)：公元1742年6月7日德国的业余数学家哥德巴赫(Goldbach)写信给当时的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想:

(a) 任何一个n 1717 6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和、

(b) 任何一个n 1717 9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和、

这就是的哥德巴赫猜想、从费马提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功、当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如:

6 = 3 + 3,8 = 3 + 5,10 = 5 + 5 = 3 + 7,12 = 5 + 7,14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11,18 = 5 + 13,、、、、等等、

有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立、但验格的数学证明尚待数学家的努力、目前的结果是数学家 陈景润於1966年证明的,称为陈氏定理(Chen‘s Theorem) 1717 “任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积、” 通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1 + 2 ”的形式、

在陈景润之前,关於偶数可表示为 s个质数的乘积 与t个质数的乘积之和(简称 “s + t ”问题)之进展情况如下:

1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9 ”、

1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了 “7 + 7 ”、

1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6 ”、

1937年,意大利的蕾西(Ri)先后证明了 “5 + 7 ”,“4 + 9 ”,“3 + 15 ”和“2 + 366 ”、

1938年,的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “5 + 5 ”、

1940年,的布赫 夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4 ”、

1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了 “1 + c ”,其中c是一很大的自然 数、

1956年,的王元证明了 “3 + 4 ”、

1957年,的王元先后证明了 “3 + 3 ”和 “2 + 3 ”、

1962年,的潘承洞和的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 + 5 ”,

的王元证明了 “1 + 4 ”、

1965年,的布赫 夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),及 意大利的朋比利(Bombieri)证明了 “1 + 3 ”、

1966年,的陈景润证明了 “1 + 2 ”、

所以现在“1+1”依旧无解，可以说是真正的世界上最难的数学题了。如果能解答出这个数学题，那可真的可以名留青史了啊。

世界上最难的数学题解答2

费马定理

对于任意不小于3的正整数 ,x^n + y^n = z ^n 无正整数解

哥德巴赫猜想

对于任一大于2的偶数都可写成两个质数之和，即1+1问题

NP完全问题

是否存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的呢？这就是的NP=P？的猜想

霍奇猜想

霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完美的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合

庞加莱猜想

庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题

黎曼设

德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。的黎曼设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上

杨－米尔斯存在性和质量缺口

纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性

BSD猜想

像楼下说的1+1=2 并不是什么问题的简称 而就是根据皮亚诺定理得到的一个加法的基本应用，是可以简单通过皮亚诺定理和自然数公理解决的

世界上最难的数学题解答3

世界七大数学难题

这七个“世界难题”是：NP完全问题、霍奇猜想、庞加莱猜想、黎曼设、杨-米尔斯存在性和质量缺口、纳卫尔-斯托可方程、BSD猜想。这七个问题都被悬赏一百万美元。

1、NP完全问题

例：在一个周六的晚上，你参加了一个盛大的晚会。由于感到局促不安，你想知道这一大厅中是否有你已经认识的人。宴会的主人向你提议说，你一定认识那位正在甜点盘附近角落的女士罗丝。不费一秒钟，你就能向那里扫视，并且发现宴会的主人是正确的。然而，如果没有这样的暗示，你就必须环顾整个大厅，一个个地审视每一个人，看是否有你认识的'人。

生成问题的一个解通常比验证一个给定的解时间花费要多得多。这是这种一般现象的一个例子。与此类似的是，如果某人告诉你，数13717421可以写成两个较小的数的乘积，你可能不知道是否应该相信他，但是如果他告诉你它可以分解为3607乘上3803，那么你就可以用一个袖珍计算器容易验证这是对的。

人们发现，所有的完全多项式非确定性问题，都可以转换为一类叫做满足性问题的逻辑运算问题。既然这类问题的所有可能，都可以在多项式时间内计算，人们于是就猜想，是否这类问题，存在一个确定性算法，可以在多项式时间内，直接算出或是搜寻出正确的呢？这就是的NP=P？的猜想。不管我们编写程序是否灵巧，判定一个是可以很快利用内部知识来验证，还是没有这样的提示而需要花费大量时间来求解，被看作逻辑和计算机科学中最突出的问题之一。它是斯蒂文·考克于1971年陈述的。

2、霍奇猜想

二十世纪的数学家们发现了研究复杂对象的形状的强有力的办法。基本想法是问在怎样的程度上，我们可以把给定对象的形状通过把维数不断增加的简单几何营造块粘合在一起来形成。这种技巧是变得如此有用，使得它可以用许多不同的方式来推广；最终导致一些强有力的工具，使数学家在对他们研究中所遇到的形形的对象进行分类时取得巨大的进展。不幸的是，在这一推广中，程序的几何出发点变得模糊起来。在某种意义下，必须加上某些没有任何几何解释的部件。霍奇猜想断言，对于所谓射影代数簇这种特别完好的空间类型来说，称作霍奇闭链的部件实际上是称作代数闭链的几何部件的(有理线性)组合。

3、庞加莱猜想

如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带，那么我们可以既不扯断它，也不让它离开表面，使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面，如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上，那么不扯断橡皮带或者轮胎面，是没有办法把它收缩到一点的。我们说，苹果表面是“单连通的”，而轮胎面不是。大约在一百年以前，庞加莱已经知道，二维球面本质上可由单连通性来刻画，他提出三维球面(四维空间中与原点有单位距离的点的全体)的对应问题。这个问题立即变得无比困难，从那时起，数学家们就在为此奋斗。

在2002年11月和2003年7月之间，的数学家格里戈里·佩雷尔曼在发表了三篇论文预印本，并声称证明了几何化猜想。

在佩雷尔曼之后，先后有2组研究者发表论文补全佩雷尔曼给出的证明中缺少的细节。这包括密西根大学的布鲁斯·克莱纳和约翰·洛特；哥伦比亚大学的约翰·摩根和麻省理工学院的田刚。

2006年8月，第25届数学家大会授予佩雷尔曼菲尔兹奖。数学界最终确认佩雷尔曼的证明解决了庞加莱猜想。

4、黎曼设

有些数具有不能表示为两个更小的数的乘积的特殊性质，例如，2、3、5、7……等等。这样的数称为素数；它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中，这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式；然而，德国数学家黎曼(1826~1866)观察到，素数的频率紧密相关于一个精心构造的所谓黎曼zeta函数ζ(s)的性态。的黎曼设断言，方程ζ(s)=0的所有有意义的解都在一条直线上。这点已经对于开始的1,500,000,000个解验证过。证明它对于每一个有意义的解都成立将为围绕素数分布的许多奥秘带来光明。

黎曼设之否认：

其实虽然因素数分布而起，但是却是一个歧途，因为伪素数及素数的普遍公式告诉我们，素数与伪素数由它们的变量集决定的。具体参见伪素数及素数词条。

5、杨-米尔斯存在性和质量缺口

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的。大约半个世纪以前，杨振宁和米尔斯发现，量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨－米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实：布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和驻波。尽管如此，他们的既描述重粒子、又在数学上严格的方程没有已知的解。特别是，被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”设，从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

6、纳卫尔-斯托可方程的存在性与光滑性

起伏的波浪跟随着我们的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的气流跟随着我们的现代喷气式飞机的飞行。数学家和物理学家深信，无论是微风还是湍流，都可以通过理解纳维叶－斯托克斯方程的解，来对它们进行解释和预言。虽然这些方程是19世纪写下的，我们对它们的理解仍然极少。挑战在于对数学理论作出实质性的进展，使我们能解开隐藏在纳维叶－斯托克斯方程中的奥秘。

7、BSD猜想

数学家总是被诸如那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答，但是对于更为复杂的方程，这就变得极为困难。事实上，正如马蒂雅谢维奇指出，希尔伯特第十问题是不可解的，即，不存在一般的方法来确定这样的方程是否有一个整数解。当解是一个阿贝尔簇的点时，贝赫和斯维讷通－戴尔猜想认为，有理点的群的大小与一个有关的蔡塔函数z(s)在点s=1附近的性态。特别是，这个有趣的猜想认为，如果z(1)等于0,那么存在无限多个有理点(解)。相反，如果z(1)不等于0。那么只存在着有限多个这样的点。