初等矩阵的定义(广义初等矩阵的定义)

可逆矩阵一定是初等矩阵吗

可逆矩阵不一定是初等矩阵。首先，初等矩阵是指一行或一列不为0，其余元素均为0，并且该行或列上的元素为1的矩阵。初等矩阵有三种类型：交换矩阵（交换两行或两列）、缩放矩阵（某一行或列乘以一个非零常数）、倍加矩阵（某一行或列加上另一行或列的常数倍）。其次，可逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得该矩阵A与B的乘积为单位矩阵I，即AB=BA=I。一个矩阵是否可逆，可以通过行列式是否为0来判断。然后，可以构造一个22的矩阵A来说明可逆矩阵不一定是初等矩阵。很容易验证，该矩阵的行列式为-3，不为0，因此该矩阵是可逆矩阵。但是，可以证明该矩阵不是初等矩阵。因为根据初等矩阵的定义，初等矩阵的行列式必须为1或-1，而矩阵A的行列式为-3，不满足初等矩阵的定义，因此矩阵A不是初等矩阵。

初等矩阵的定义(广义初等矩阵的定义)

初等矩阵的定义(广义初等矩阵的定义)

【矩阵】18、初等矩阵

1、用初等变换法，求出矩阵的秩

2、设 ，若r(A)=3，求a.

r(A)=3证明有一行为零（秩的定义），证明

按一行展开：

所以 ，得：a=-3或a=1

若a=-3，

由于A的3阶子式

r(A)=3，故a=-3

若a=1，

故利用初等变换将A化为B，A与B之间用记号→或 连接。

那A和B的别在哪里？添加什么两者才相等？学习以下内容来解决该问题。

对单位阵进行一次初等变换后得到的矩阵称为 初等矩阵 。

三种初等行变换得到的初等矩阵分别为：

对单位阵作一次列变换得到的矩阵也包括在上面的三类矩阵之中。

初等矩阵的转置仍为同类型的初等矩阵。

初等矩阵都是非奇异的。

行变换相当于左乘初等矩阵；列变换相当于右乘初等矩阵。

初等行变换： ，有：

初等列变换： ，有：

例1：求矩阵的标准形并用初等矩阵表示初等变换。

下一步作是基于前一步作

每一个作都是对 的作

可以验证

定义：若方阵A的秩与其阶数相等，则称A为满秩矩阵；否则称为降秩矩阵。

定理：设A为满秩阵，则A的标准形为同阶单位阵E.即A=E.即

以下命题等价：

矩阵A与B等价的充要条件为存在m阶及n阶满秩阵P、Q，使

由此还可得到：若P、Q为满秩阵，则

1、

以下哪个选项正确？

（1）

（2）

（1）

（1）

2、

3、

初等矩阵的性质

初等矩阵性质：

初等矩阵的概念：

初等矩阵是指由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵。

首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。

矩阵初等变换的定义

矩阵初等变换的定义是矩阵的初等行变换和初等列变换，是线性代数中一种重要的计算工具，是高等代数中的名词，也是一种运算的名称。

一、矩阵初等变换的类型

1、在线性代数中，矩阵的初等变换是指交换矩阵的两行（对调i，j，两行记为ri，rj）。

2、以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k）。

3、把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素（第j行乘以k加到第i行记为ri+krj）。

4、类似地，把以上的“行”改为“列”便得到矩阵初等变换的定义，把对应的记号“r”换为“c”。

二、矩阵变换的规则

1、换行变换：交换两行（列），即ri←→rj（或对列变换ci←→cj）。

2、倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k，即ri×k（k≠0）或ri×k（k≠0）。

3、消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上，即ri+rj×k或ri+rj×k。

初等矩阵的定义是什么？

初等矩阵是指，由单位矩阵经过三种矩阵初等变换得到的矩阵。初等矩阵的模样可以写一个3阶或者4阶的单位矩阵，首先：初等矩阵都可逆，其次，初等矩阵的逆矩阵其实是一个同类型的初等矩阵（可看作逆变换）。

例如，交换矩阵中某两行（列）的位置；用一个非零常数k乘以矩阵的某一行（列）；将矩阵的某一行（列）乘以常数k后加到另一行（列）上去。

若某初等矩阵左乘矩阵A，则初等矩阵会将原先施加到单位矩阵E上的变换，按照同种形式施加到矩阵A之上。或者说，想对矩阵A做变换，但是不是直接对矩阵A去做处理，而是通过一种间接方式去实现。

初等矩阵的三种类型：

常见的三种初等矩阵，交换矩阵的两行（对调i，j，两行记为ri，rj);以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k);把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一。

交换矩阵的两行（对调i，j，两行记为ri，rj);以一个非零数k乘矩阵的某一行所有元素（第i行乘以k记为ri×k);把矩阵的某一行所有元素乘以一个数k后加到另一行对应的元素（第j行乘以k加到第i行记为ri+krj)。

这三种初等变换都不会改变一个方阵A的行列式的非零性，所以如果一个矩阵是方阵，我们可以通过看初等变换后的矩阵是否可逆，来判断原矩阵是否可逆。可以看出，矩阵的3种初等变换都是可逆的，且其逆变换也是同一种类型的初等变换。